Asal-usul Pengetahuan Matematika
Dalam menerima bahwa matematika merupakan konstruksi sosial, maka tersirat bahwa matematika objektif pengetahuan adalah produk dari manusia. Untuk mempertahankan penelitian ini, kita harus mampu untuk menjelaskan matematika tambahan kreasi dari individu (atau kelompok) untuk menerima pengetahuan matematika. Namun pertumbuhan pengetahuan matematika tidak secara eksklusif inkremental. Jadi kita juga harus memperhitungkan cara yang sebagai hasil dari kontribusi baru kerangka pengetahuan matematika yang ada berkembang dan perubahan. Meskipun ia tidak secara eksplisit alamat kedua masalah ini, kita telah melihat bahwa Lakatos quasi-empirisisme menawarkan berpotensi bermanfaat tentang asal-usul pengetahuan matematika, dan kami akan membangun di rekening.
Menurut adopsi penggunaan, pikir matematis seorang individu adalah pemikiran subjektif. Agar itu menjadi pikiran objektif itu harus bahasa diwakili, biasanya dalam bentuk tertulis. Bertindak kunci yang mengubah pikiran subjektif diterbitkan ini ke pikiran objektif penerimaan sosial, publik penting berikut. Maka dapat dikatakan sebagai kontribusi
pengetahuan matematika, bahkan jika, seperti dugaan terkenal Fermat ditulis dalam salinan Doplantus tidak diteliti dalam penulis, AOS seumur hidup. Objektivitas diberikan kepada matematika meskipun melalui penerimaan sosial, publikasi berikut. Di sini tidak ada pembatasan
publikasi tertulis dimaksudkan. Jadi pikir matematis berkomunikasi melalui ceramah kepada rekan-rekan juga merupakan publikasi, dan dapat juga menjadi kontribusi pemikiran objektif, menyediakan itu secara sosial diterima.
Sebuah fitur penting dalam asal-usul pengetahuan matematika transformasi dari publik disajikan (subjektif) pengetahuan dalam matematika untuk objektif, yang secara sosial diterima pengetahuan matematika. Transformasi ini tergantung pada proses hidup publik dan kritik. Selama proses ini, yang Lakatos otonomi penemuan logika matematika, kriteria objektif memainkan bagian penting. Mereka digunakan untuk menilai kebenaran kesimpulan, konsistensi asumsi, asumsi konsistensi, konsekuensi dari definisi, validitas informal formalizations dalam mengungkapkan gagasan, dan seterusnya. Bersama kriteria yang digunakan dalam proses semacam kritis termasuk ide-ide logika dan kesimpulan yang benar dan pengertian metodologi dasar dan prosedur, yang tergantung untuk sebagian besar pada matematika danlogis berbagi pengetahuan.
Fakta bahwa ada kriteria objektif, bagaimanapun, tidak berarti bahwa semua kritik rasional. Namun, penjelasan ini merupakan pembahasan mengenai ciri filosofis pertumbuhan pengetahuan objektif, dan bukan faktor-faktor empiris yang mungkin timbul dalam praktek. Penjelasan ini didasarkan pada bahwa dari Lakatos, meskipun diuraikan dalam beberapa hal. Wawasan asli untuk peran penting kritik publik dalam pertumbuhan pengetahuan, seperti Lakatos mengakui, adalah bahwa dari Popper (1959).
Kamis, 29 Desember 2016
Catatan Sejarah Pembentukan Matematika
Catatan Sejarah Pembentukan Matematika
Catatan sejarah pembuatan matematika, bukan hanya jalur yang ditinggalkan oleh matematika untuk mendekati kebenaran lebih dekat. Ini masalah catatan yang diajukan, dan konsep, proposisi, bukti-bukti dan teori dibuat, dinegosiasikan dan dirumuskan oleh individu dan kelompok untuk melayani tujuan dan kepentingan mereka. Konsekuensi dari pandangan ini, karena filsafat absolut telah mendominasi lapangan, bahwa sejarah matematika harus ditulis ulang dengan cara yang non-teleologis non-Eurocentric. Pandangan absolutis matematika sebagai kebenaran yang diperlukan secara implisit mengasumsikan bahwa penemuan hampir ditakdirkan dan bahwa matematika modern merupakan hasil tak terelakkan. Koreksi ini perlu, untuk matematika modern tidak lebih dari hasil yang tak dari evolusi terelakkan dari sejarah umat manusia modern.
Banyak sejarah matematika, seperti tetesan mata (1953), mempromosikan perkembangan pandangan Eurocentric. Pakar seperti Yusuf (1987) telah mengkritik sejarah ini, dan menunjukkan lebih luas berapa banyak tradisi dan fokus penelitian dan pengembangan matematika, di pusat-pusat budaya dan peradaban sepanjang sejarah dunia. Sejarah konstruktivis sosial matematika perlu menunjukkan apa kekuatan atau matematika, filsafat, sosial dan kreasi politik tertentu, atau memblokir mereka. Sebagai contoh, Henry (1971) berpendapat bahwa penciptaan kalkulus adalah dalam genggaman Descartes, tetapi bahwa ia menghindari bahwa masalah karena untuk pendekatan yang tak terbatas akan menghujat.Kurang spekulatif, peningkatan jumlah studi, seperti Restivo (1985), MacKenzie (1981) dan Richards (1980, 1989) menunjukkan di tempat kerja dalam sejarah sosial matematika, tergantung pada posisi sosial dan kepentingan peserta, bukan pada kriteria murni objektif dan rasional.
Catatan sejarah pembuatan matematika, bukan hanya jalur yang ditinggalkan oleh matematika untuk mendekati kebenaran lebih dekat. Ini masalah catatan yang diajukan, dan konsep, proposisi, bukti-bukti dan teori dibuat, dinegosiasikan dan dirumuskan oleh individu dan kelompok untuk melayani tujuan dan kepentingan mereka. Konsekuensi dari pandangan ini, karena filsafat absolut telah mendominasi lapangan, bahwa sejarah matematika harus ditulis ulang dengan cara yang non-teleologis non-Eurocentric. Pandangan absolutis matematika sebagai kebenaran yang diperlukan secara implisit mengasumsikan bahwa penemuan hampir ditakdirkan dan bahwa matematika modern merupakan hasil tak terelakkan. Koreksi ini perlu, untuk matematika modern tidak lebih dari hasil yang tak dari evolusi terelakkan dari sejarah umat manusia modern.
Banyak sejarah matematika, seperti tetesan mata (1953), mempromosikan perkembangan pandangan Eurocentric. Pakar seperti Yusuf (1987) telah mengkritik sejarah ini, dan menunjukkan lebih luas berapa banyak tradisi dan fokus penelitian dan pengembangan matematika, di pusat-pusat budaya dan peradaban sepanjang sejarah dunia. Sejarah konstruktivis sosial matematika perlu menunjukkan apa kekuatan atau matematika, filsafat, sosial dan kreasi politik tertentu, atau memblokir mereka. Sebagai contoh, Henry (1971) berpendapat bahwa penciptaan kalkulus adalah dalam genggaman Descartes, tetapi bahwa ia menghindari bahwa masalah karena untuk pendekatan yang tak terbatas akan menghujat.Kurang spekulatif, peningkatan jumlah studi, seperti Restivo (1985), MacKenzie (1981) dan Richards (1980, 1989) menunjukkan di tempat kerja dalam sejarah sosial matematika, tergantung pada posisi sosial dan kepentingan peserta, bukan pada kriteria murni objektif dan rasional.
Filosofi Matematika Pribadi
Filosofi Matematika Pribadi
Kita bisa menghubungkan teori Perry terhadap posisi dalam filsafatmatematika. Ini adalah filosofi umum matematika, secara eksplisitdinyatakan dan terbuka bagi debat publik. Di sini kita mempertimbangkanfilsafat pribadi matematika, yang merupakan teori pribadi dan implicit kecuali dipikir secara mendalam, dinyatakan secara eksplisit dan dipublikasikan. Perbedaannya adalah bahwa antara pengetahuan objektif dan subjektif, yang dibuat antara lain oleh Polanyi (1958), yang berpendapat tentang pentingnya peran komitmen terhadap pengetahuan pribadi, menunjukkan dukungan terhadap bentuk teori Perry, bukan
terhadap detilnya.
Menerapkan teori Perry terhadap filosofi pribadi matematika, pandangan. matematika dapat dibedakan pada masing-masing dari ketiga tingkat tersebut. Pandangan dualistik terhadap matematika menganggapnya berhubungan dengan fakta, aturan, prosedur yang benar dan kebenaran sederhana yang ditentukan oleh otoritas mutlak. Matematika dipandang
sebagai tetap dan pasti, tetapi memiliki struktur yang unik. Mengerjakan matematika sama dengan mengikuti aturan.
Hal telah dikenali dalam penelitian empiris terhadap keyakinan guru (Cooney dan jones, 1988 Ernest, 1989a; Oprea dan Stonewater, 1987; dan Matematika dalam pandangan Multiplistik, jawaban dan rute ganda untuk sebuah jawaban adalah diakui, namun dianggap sebagai sama-sama sah, atau hanya sebagai masalah preferensi pribadi seorang. Tidak semua kebenaran matematika, jalurnya atau aplikasinya telah diketahui, sehingga memungkinkan untuk menjadi kreatif dalam matematika dan juga penerapannya. Namun, kriteria untuk memilih dari multiplisitas ini masih kurang. Pandangan relativistik terhadap matematika mengakui adanya berbagai jawaban dan pendekatan terhadap permasalahan matematika, dan bahwa evaluasinya bergantung pada sistem matematika, atau konteksnya secara keseluruhan. Demikian juga bahwa
pengetahuan matematika bergantung pada sistem atau kerangka yang diadopsi, dan terutama pada logika inner (inner ) matematika. yang menyediakan prinsip-prinsip dan kriteria untuk evaluasi.
Berikutnya Kita hubungkan kelas-kelas pandangan matematika ini terhadap berbagai filsafat matematika yang berbeda, baik publik maupun pribadi. Perbedaan utama dalam filsafat matematika adalah antara absolutisme dan fallibilisme. Aliran pola piker absolutism menyatakan bahwa pengetahuan matematika adalah pasti, tetapi tetap ada alasan rasional untuk menerima (atau menolak) nya. Pengetahuan matematika terbentuk dalam filsafat ini dengan cara menerapkan logika pada teori matematika. Filosofi ini juga mengakui pendekatan beragam dan solusi yang mungkin bagi permasalahan matematika, bahkan jika ada kebenaran abadi yang dapat ditemukan dengan cara tersebut. Filosofi umum dan system keyakinan publik seperti ini disebut relativistik, karena pengetahuan dievaluasi dengan mengacu pada sistem atau kerangka kerja. Beberapa berlaku juga untuk filosofifallibilist .
Namun, diluar aliran pemikiran publik ini, dan bagian kontranya yaitu pemikiran 'pribadi', adalah filosofi matematika pribadi yang lebih sempit. Kedua-duanya yang akan dibedakan adalahabsolutist. Yang pertama adalah pandangan dualistis dari matematika sebagai kumpulan fakta yang benar, dan metode yang benar, yang mana kebenarannya ditetapkan dengan mengacu pada otoritas. Perspektif ini menekankan kebenaran mutlak versus kepalsuan (falsity), kebenaran versus ketidakbenaran, dan bahwa ada satu set unik pengetahuan matematika yang disetujui olehotoritas . Pandangan Thompson, 1984). Pandangan tersebut akan disebut dengan pandangan 'absolut dualistik' dari matematika. Filsafat pribadi kedua dari matematika yang dapat diidentifikasi adalah Multiplistik. Pandangan ini juga memandang matematika sebagai set fakta yang tidak dipertanyakan, aturan dan metode, tetapi tidak memandang bahwa pilihan dan penggunaannya diantara set-set tersebut ditentukan secara mutlak oleh otoritas atau sumber lainnya. Jadi ada pluralitas jawaban, sudut pandang atau evaluasi berkenaan dengan situasi atau
pilihan permasalahan matematis yang serupa, dan pilihan dapat dibuat sesuai dengan preferensi si pemegang-keyakinan.
Pandangan seperti ini dapat ditujukan untuk Benny, dalam studi kasus Erlwanger (1973), yang memandang matematika sebagai suatu massa aturan (tidak konsisten), yang dipilih berdasarkan preferensi atau kegunaan. Skovsmose (1988) menunjukkan bahwa penggunaan unreflective matematika dalam pemodelan matematika adalah bersifat pragmatis, dan dapat berwujud seperti filsafat. Ormell (1975) melaporkan pandangan banyak ilmuwan dan teknologist yang menyatakan bahwa matematika merupakan kumpulan alat yang digunakan saat dan bila
diperlukan, masing-masing dianggap sebagai kotak hitam (black box) 'yang kerjanya tidak diselidiki. Pandangan tersebut merupakan pandangan Multiplistik, karena mereka mengakui aneka ragam jawaban dan metode dalam menerapkan matematika, tetapi tidak ada alasan prinsipil atas pilihan rasional. Pemilihan antara alternatif dibuat sesuai dengan preferensi pribadi, atau atas dasar pragmatis dan kegunaan. Pandangan ini disebut sebagai ' absolutisme multiplistic'. Sejumlah peneliti telah melaporkan bahwa sistem kepercayaan terkait- matematika guru-guru dapat digambarkan sebagai Multiplistik (Cooney, 1988; Oprea dan Stonewater,
1987).
Tingkat Relativisme mencakup versi subjektif dari filosofi absolutism publik, sebagaimana telah kita lihat. Dalam terminologi Bab 2, tingkatan tersebut terdiri dari absolutis formal (misalnya logicisme dan formalisme) dan absolutis progresif (misalnya intuisionisme) filsafat matematika. Filsafat matematika Fallibilist, seperti 'kuasi-empirisme dan sosial konstruktivisme'-nya Lakatos juga relativistik, karena kebenaran mereka (corrigibility (yang dapat diperbaiki) meskipun) dinilai dalam kerangka kerja seperti sistem matematika informal atau teori aksiomatis. Pengetahuan dalam filsafat fallibilist juga dievaluasi dalam hubungannya dengan konteks yang lebih luas dari aktivitas manusia dan budaya. Filosofi fallibilist ini bersifat Relativistik karena mereka mengakui banyaknya pendekatan dan solusi yang mungkin untuk masalah matematika, namun mengharuskan pengetahuan matematika dievaluasi dalam kerangka
berprinsip.
Kita bisa menghubungkan teori Perry terhadap posisi dalam filsafatmatematika. Ini adalah filosofi umum matematika, secara eksplisitdinyatakan dan terbuka bagi debat publik. Di sini kita mempertimbangkanfilsafat pribadi matematika, yang merupakan teori pribadi dan implicit kecuali dipikir secara mendalam, dinyatakan secara eksplisit dan dipublikasikan. Perbedaannya adalah bahwa antara pengetahuan objektif dan subjektif, yang dibuat antara lain oleh Polanyi (1958), yang berpendapat tentang pentingnya peran komitmen terhadap pengetahuan pribadi, menunjukkan dukungan terhadap bentuk teori Perry, bukan
terhadap detilnya.
Menerapkan teori Perry terhadap filosofi pribadi matematika, pandangan. matematika dapat dibedakan pada masing-masing dari ketiga tingkat tersebut. Pandangan dualistik terhadap matematika menganggapnya berhubungan dengan fakta, aturan, prosedur yang benar dan kebenaran sederhana yang ditentukan oleh otoritas mutlak. Matematika dipandang
sebagai tetap dan pasti, tetapi memiliki struktur yang unik. Mengerjakan matematika sama dengan mengikuti aturan.
Hal telah dikenali dalam penelitian empiris terhadap keyakinan guru (Cooney dan jones, 1988 Ernest, 1989a; Oprea dan Stonewater, 1987; dan Matematika dalam pandangan Multiplistik, jawaban dan rute ganda untuk sebuah jawaban adalah diakui, namun dianggap sebagai sama-sama sah, atau hanya sebagai masalah preferensi pribadi seorang. Tidak semua kebenaran matematika, jalurnya atau aplikasinya telah diketahui, sehingga memungkinkan untuk menjadi kreatif dalam matematika dan juga penerapannya. Namun, kriteria untuk memilih dari multiplisitas ini masih kurang. Pandangan relativistik terhadap matematika mengakui adanya berbagai jawaban dan pendekatan terhadap permasalahan matematika, dan bahwa evaluasinya bergantung pada sistem matematika, atau konteksnya secara keseluruhan. Demikian juga bahwa
pengetahuan matematika bergantung pada sistem atau kerangka yang diadopsi, dan terutama pada logika inner (inner ) matematika. yang menyediakan prinsip-prinsip dan kriteria untuk evaluasi.
Berikutnya Kita hubungkan kelas-kelas pandangan matematika ini terhadap berbagai filsafat matematika yang berbeda, baik publik maupun pribadi. Perbedaan utama dalam filsafat matematika adalah antara absolutisme dan fallibilisme. Aliran pola piker absolutism menyatakan bahwa pengetahuan matematika adalah pasti, tetapi tetap ada alasan rasional untuk menerima (atau menolak) nya. Pengetahuan matematika terbentuk dalam filsafat ini dengan cara menerapkan logika pada teori matematika. Filosofi ini juga mengakui pendekatan beragam dan solusi yang mungkin bagi permasalahan matematika, bahkan jika ada kebenaran abadi yang dapat ditemukan dengan cara tersebut. Filosofi umum dan system keyakinan publik seperti ini disebut relativistik, karena pengetahuan dievaluasi dengan mengacu pada sistem atau kerangka kerja. Beberapa berlaku juga untuk filosofifallibilist .
Namun, diluar aliran pemikiran publik ini, dan bagian kontranya yaitu pemikiran 'pribadi', adalah filosofi matematika pribadi yang lebih sempit. Kedua-duanya yang akan dibedakan adalahabsolutist. Yang pertama adalah pandangan dualistis dari matematika sebagai kumpulan fakta yang benar, dan metode yang benar, yang mana kebenarannya ditetapkan dengan mengacu pada otoritas. Perspektif ini menekankan kebenaran mutlak versus kepalsuan (falsity), kebenaran versus ketidakbenaran, dan bahwa ada satu set unik pengetahuan matematika yang disetujui olehotoritas . Pandangan Thompson, 1984). Pandangan tersebut akan disebut dengan pandangan 'absolut dualistik' dari matematika. Filsafat pribadi kedua dari matematika yang dapat diidentifikasi adalah Multiplistik. Pandangan ini juga memandang matematika sebagai set fakta yang tidak dipertanyakan, aturan dan metode, tetapi tidak memandang bahwa pilihan dan penggunaannya diantara set-set tersebut ditentukan secara mutlak oleh otoritas atau sumber lainnya. Jadi ada pluralitas jawaban, sudut pandang atau evaluasi berkenaan dengan situasi atau
pilihan permasalahan matematis yang serupa, dan pilihan dapat dibuat sesuai dengan preferensi si pemegang-keyakinan.
Pandangan seperti ini dapat ditujukan untuk Benny, dalam studi kasus Erlwanger (1973), yang memandang matematika sebagai suatu massa aturan (tidak konsisten), yang dipilih berdasarkan preferensi atau kegunaan. Skovsmose (1988) menunjukkan bahwa penggunaan unreflective matematika dalam pemodelan matematika adalah bersifat pragmatis, dan dapat berwujud seperti filsafat. Ormell (1975) melaporkan pandangan banyak ilmuwan dan teknologist yang menyatakan bahwa matematika merupakan kumpulan alat yang digunakan saat dan bila
diperlukan, masing-masing dianggap sebagai kotak hitam (black box) 'yang kerjanya tidak diselidiki. Pandangan tersebut merupakan pandangan Multiplistik, karena mereka mengakui aneka ragam jawaban dan metode dalam menerapkan matematika, tetapi tidak ada alasan prinsipil atas pilihan rasional. Pemilihan antara alternatif dibuat sesuai dengan preferensi pribadi, atau atas dasar pragmatis dan kegunaan. Pandangan ini disebut sebagai ' absolutisme multiplistic'. Sejumlah peneliti telah melaporkan bahwa sistem kepercayaan terkait- matematika guru-guru dapat digambarkan sebagai Multiplistik (Cooney, 1988; Oprea dan Stonewater,
1987).
Tingkat Relativisme mencakup versi subjektif dari filosofi absolutism publik, sebagaimana telah kita lihat. Dalam terminologi Bab 2, tingkatan tersebut terdiri dari absolutis formal (misalnya logicisme dan formalisme) dan absolutis progresif (misalnya intuisionisme) filsafat matematika. Filsafat matematika Fallibilist, seperti 'kuasi-empirisme dan sosial konstruktivisme'-nya Lakatos juga relativistik, karena kebenaran mereka (corrigibility (yang dapat diperbaiki) meskipun) dinilai dalam kerangka kerja seperti sistem matematika informal atau teori aksiomatis. Pengetahuan dalam filsafat fallibilist juga dievaluasi dalam hubungannya dengan konteks yang lebih luas dari aktivitas manusia dan budaya. Filosofi fallibilist ini bersifat Relativistik karena mereka mengakui banyaknya pendekatan dan solusi yang mungkin untuk masalah matematika, namun mengharuskan pengetahuan matematika dievaluasi dalam kerangka
berprinsip.
Filsafat Matematika
Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalah cabang filsafat yang berujuan untuk merenungkan dan menjelaskan sifat dari matematika. Banyak pertanyaan-pertanyaan yang muncul dalam Filosofi matematika seperti: Apa dasar untuk pengetahuan matematika? Apakah sifat kebenaran matematika? Apa ciri kebenaran matematika? Apa pembenaran untuk pernyataan mereka? Mengapa kebenaran matematika kebenaran yang diperlukan?
Pendekatan secara luas diadopsi oleh epistemologi, adalah untuk menganggap bahwa pengetahuan dalam bidang apapun diwakili oleh satu set proposisi, bersama-sama dengan prosedur untuk memverifikasi atau memberikan pembenaran pada suatu pernyataan. Ketika pembuktian matematika didasarkan pada penarikan kesimpulan saja tanpa dengan data empiris, maka pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling diyakini. Secara tradisional, filsafat matematika bertujuan untuk memberikan dasar kepastian pengetahuan matematika. Yaitu, menyediakan sistem di mana pengetahuan matematika dapat dibuang secara sistematis dalam membangun kebenarannya. Hal ini tergantung pada asumsi yang diadopsi, yaitu secara implisit atau eksplisit.
Asumsi
Peran filsafat matematika adalah untuk memberikan landasan yang sistematis dan absolut untuk pengetahuan matematika, yaitu dalam nilai kebenaran matematika. Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi filsafat matematika adalah untuk memberikan dasar-dasar tertentu untuk pengetahuan matematika. Pandangan Foundationism terhadap pengetahuan matematika terikat dengan pandangan absolutist, yaitu menganggap bahwa kebenaran matematika adalah mutlak.
Filsafat matematika adalah cabang filsafat yang berujuan untuk merenungkan dan menjelaskan sifat dari matematika. Banyak pertanyaan-pertanyaan yang muncul dalam Filosofi matematika seperti: Apa dasar untuk pengetahuan matematika? Apakah sifat kebenaran matematika? Apa ciri kebenaran matematika? Apa pembenaran untuk pernyataan mereka? Mengapa kebenaran matematika kebenaran yang diperlukan?
Pendekatan secara luas diadopsi oleh epistemologi, adalah untuk menganggap bahwa pengetahuan dalam bidang apapun diwakili oleh satu set proposisi, bersama-sama dengan prosedur untuk memverifikasi atau memberikan pembenaran pada suatu pernyataan. Ketika pembuktian matematika didasarkan pada penarikan kesimpulan saja tanpa dengan data empiris, maka pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling diyakini. Secara tradisional, filsafat matematika bertujuan untuk memberikan dasar kepastian pengetahuan matematika. Yaitu, menyediakan sistem di mana pengetahuan matematika dapat dibuang secara sistematis dalam membangun kebenarannya. Hal ini tergantung pada asumsi yang diadopsi, yaitu secara implisit atau eksplisit.
Asumsi
Peran filsafat matematika adalah untuk memberikan landasan yang sistematis dan absolut untuk pengetahuan matematika, yaitu dalam nilai kebenaran matematika. Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi filsafat matematika adalah untuk memberikan dasar-dasar tertentu untuk pengetahuan matematika. Pandangan Foundationism terhadap pengetahuan matematika terikat dengan pandangan absolutist, yaitu menganggap bahwa kebenaran matematika adalah mutlak.
Formaisme
Formalisme
Dalam istilah populer, formalisme adalah pandangan bahwa matematika adalah permainan yang dimainkan dengan formal berarti tanda di atas kertas, mengikuti aturan. Jejak filsafat formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi para pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awal J. von Neumann (1931) dan h. kari (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan ke dalam sistem formal matematika yang tidak ditafsirkan. Dengan cara pembatasan tetapi metamatematika berarti sistem formal yang akan ditampilkan menjadi cukup untuk matematika, oleh rekan-rekan formal yang berasal dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika, melalui bukti konsistensi. Tesis (teori) formalis terdiri dari dua klaim. Matematika murni dapat ditafsirkan sebagai sistem formal, dimana kemudian kebenaran matematika diwakili oleh dalil formal. keamanan sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasan dari inkonsistensi (ketidakserasian) melalui meta-matematika.
Teorema ketidak lengkapan Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program tidak dapat terpenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari Aksioma Peano (atau yang lebih besar aksioma rekursif). Hasil ini bukti-teori telah dilakukan sejak dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang versi Teorema Ramsey benar, tetapi tidak dapat dibuktikan di Peano aritmatika (Barwise, 1977). Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus-kasus yang diinginkan memerlukan bukti konsistensi meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dilindungi, yang dengan demikian tidak ada perlindungan sama sekali. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi Peano Aritmatika mengharuskan semua aksioma dari sistem dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfuuite atas ordinals dpt dihitung (Gentzen, 1936).
Program formalis, sudah itu berhasil, akan memberikan dukungan untuk pandangan absolutis kebenaran matematika. Sebagai bukti formal, yang berbasis di sistem matematika formal yang konsisten, akan memberikan batu ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa baik klaim formalisme telah membantah. Tidak semua kebenaran matematika dapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan lebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin aman.
Dalam istilah populer, formalisme adalah pandangan bahwa matematika adalah permainan yang dimainkan dengan formal berarti tanda di atas kertas, mengikuti aturan. Jejak filsafat formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi para pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awal J. von Neumann (1931) dan h. kari (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan ke dalam sistem formal matematika yang tidak ditafsirkan. Dengan cara pembatasan tetapi metamatematika berarti sistem formal yang akan ditampilkan menjadi cukup untuk matematika, oleh rekan-rekan formal yang berasal dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika, melalui bukti konsistensi. Tesis (teori) formalis terdiri dari dua klaim. Matematika murni dapat ditafsirkan sebagai sistem formal, dimana kemudian kebenaran matematika diwakili oleh dalil formal. keamanan sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasan dari inkonsistensi (ketidakserasian) melalui meta-matematika.
Teorema ketidak lengkapan Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program tidak dapat terpenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari Aksioma Peano (atau yang lebih besar aksioma rekursif). Hasil ini bukti-teori telah dilakukan sejak dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang versi Teorema Ramsey benar, tetapi tidak dapat dibuktikan di Peano aritmatika (Barwise, 1977). Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus-kasus yang diinginkan memerlukan bukti konsistensi meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dilindungi, yang dengan demikian tidak ada perlindungan sama sekali. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi Peano Aritmatika mengharuskan semua aksioma dari sistem dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfuuite atas ordinals dpt dihitung (Gentzen, 1936).
Program formalis, sudah itu berhasil, akan memberikan dukungan untuk pandangan absolutis kebenaran matematika. Sebagai bukti formal, yang berbasis di sistem matematika formal yang konsisten, akan memberikan batu ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa baik klaim formalisme telah membantah. Tidak semua kebenaran matematika dapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan lebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin aman.
Hakekat dari Ilmu Matematika
Hakekat dari Ilmu Matematika
Secara tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan struktur logika yang luar biasa hampir 2.500 tahun lalu, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigm untuk mendirikan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan unsur-unsur logika dalam bukunya Principia, dan Spinoza juga menggunakannya dalam bukunya Ethics, untuk memperkuat klaim mereka menjelaskan kebenaran secara sistematis. Matematika telah lama dianggap sebagai sumber pengetahuan tertentu yang paling dikenal umat manusia. Sebelum menanyakan hakikat dari ilmu matematika, pertama-tama perlu mempertimbangkan hakikat ilmu pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan pertanyaan, apa itu ilmu pengetahuan? pertanyaan tentang apa itu ilmu pengetahuan merupakan jantung filsafat, dan pengetahuan matematika memainkan peran khusus. Jawaban filosofis standar untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah kepercayaan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi yang diterima (yaitu, dipercaya), asalkan ada dasar yang memadai untuk menegaskannya
(Sheffler,; 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).
Pengetahuan diklasifikasikan berdasarkan pada pernyataan tersebut.
Pengetahuanapriori terdiri dari proposisi hanya berdasarkan alasan saja, tanpa pengamatan dari dunia. Alasannya terdiri dari penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari proposisi yang menjelaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, dengan pengamatan dunia (Woozley, 1949). Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan priori, karena terdiri dari proposisi yang menjelaskan atas dasar alasan saja. Alasannya, termasuk logika deduktif dan yang digunakan sebagai definisi, hubungannya dengan aksioma matematika atau postulat, adalah sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Dengan demikian, dapat dikatakanbahwa pengetahuan dasar matematika yaitu dasar untuk menyatakan kebenaran proposisi matematika, yang terdiri dari bukti deduktif. Bukti dari proposisi matematika adalah proposisi terbatas yang memenuhi syarat cukup. Setiap pernyataan adalah aksioma yang berdasarkan seperangkat aksioma sebelumnya, atau diperoleh dengan aturan penarikan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang telah ada sebelumnya. Istilah aksioma dipahami secara luas, yang merupakan pernyataan yang diakui menjadi bukti tanpa demonstrasi. Selain aksioma yaitu dalil-dalil dan definisi.
Secara tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan struktur logika yang luar biasa hampir 2.500 tahun lalu, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigm untuk mendirikan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan unsur-unsur logika dalam bukunya Principia, dan Spinoza juga menggunakannya dalam bukunya Ethics, untuk memperkuat klaim mereka menjelaskan kebenaran secara sistematis. Matematika telah lama dianggap sebagai sumber pengetahuan tertentu yang paling dikenal umat manusia. Sebelum menanyakan hakikat dari ilmu matematika, pertama-tama perlu mempertimbangkan hakikat ilmu pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan pertanyaan, apa itu ilmu pengetahuan? pertanyaan tentang apa itu ilmu pengetahuan merupakan jantung filsafat, dan pengetahuan matematika memainkan peran khusus. Jawaban filosofis standar untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah kepercayaan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi yang diterima (yaitu, dipercaya), asalkan ada dasar yang memadai untuk menegaskannya
(Sheffler,; 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).
Pengetahuan diklasifikasikan berdasarkan pada pernyataan tersebut.
Pengetahuanapriori terdiri dari proposisi hanya berdasarkan alasan saja, tanpa pengamatan dari dunia. Alasannya terdiri dari penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari proposisi yang menjelaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, dengan pengamatan dunia (Woozley, 1949). Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan priori, karena terdiri dari proposisi yang menjelaskan atas dasar alasan saja. Alasannya, termasuk logika deduktif dan yang digunakan sebagai definisi, hubungannya dengan aksioma matematika atau postulat, adalah sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Dengan demikian, dapat dikatakanbahwa pengetahuan dasar matematika yaitu dasar untuk menyatakan kebenaran proposisi matematika, yang terdiri dari bukti deduktif. Bukti dari proposisi matematika adalah proposisi terbatas yang memenuhi syarat cukup. Setiap pernyataan adalah aksioma yang berdasarkan seperangkat aksioma sebelumnya, atau diperoleh dengan aturan penarikan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang telah ada sebelumnya. Istilah aksioma dipahami secara luas, yang merupakan pernyataan yang diakui menjadi bukti tanpa demonstrasi. Selain aksioma yaitu dalil-dalil dan definisi.
Konstruktivisme Sosial Mengasumsikan Bahasa Alam yang Unik
Konstruktivisme Sosial mengasumsikan Bahasa Alam Unik
Konstruktivisme sosial menggunakan pembenaran konvensionalis untuk pengetahuan matematika. Ini berasumsi bahwa pengetahuan matematika berada pada bahasa alam yang unik, bertentangan dengan kenyataan bahwa lebih dari 700 bahasa alam yang berbeda diketahui, banyak diantaranya dengan dasar sangat berbeda dengan bahasa Inggris
Meskipun dapat dikatakan bahwa konsep-konsep matematika dan kebenaran tidak bergantung pada fitur struktural bahasa Inggris, ini ditemukan juga di Eropa dan beberapa bahasa lain, tetapi tidak harus dalam semua bahasa alam. Ini memiliki dua konsekuensi besar, yang sangat penting konstruktivisme sosial.
Pertama, jika matematika didasarkan pada bahasa-bahasa dengan logika berbeda secara signifikan dan fitur struktural, maka alternatif (yaitu berbeda) matematika dapat terjadi. Ini bukan masalah bagi konstruktivisme sosial.
Kedua, penutur bahasa asli yang bahasanya berbeda jauh dari Inggris, Perancis, dll, dalam logika dan fitur struktural baik harus memperoleh bahasa kedua, atau merestrukturisasi pemahaman mereka sendiri, dalam rangka untuk belajar matematika Barat akademik. Kemudian lagi tampaknya masuk akal, dan bahkan ada beberapa bukti untuk mendukung ini. Bahkan bukti seperti relativisme budaya memperkuat daripada melemahkan kasus favow konstruktivisme sosial.
Konstruktivisme sosial menggunakan pembenaran konvensionalis untuk pengetahuan matematika. Ini berasumsi bahwa pengetahuan matematika berada pada bahasa alam yang unik, bertentangan dengan kenyataan bahwa lebih dari 700 bahasa alam yang berbeda diketahui, banyak diantaranya dengan dasar sangat berbeda dengan bahasa Inggris
Meskipun dapat dikatakan bahwa konsep-konsep matematika dan kebenaran tidak bergantung pada fitur struktural bahasa Inggris, ini ditemukan juga di Eropa dan beberapa bahasa lain, tetapi tidak harus dalam semua bahasa alam. Ini memiliki dua konsekuensi besar, yang sangat penting konstruktivisme sosial.
Pertama, jika matematika didasarkan pada bahasa-bahasa dengan logika berbeda secara signifikan dan fitur struktural, maka alternatif (yaitu berbeda) matematika dapat terjadi. Ini bukan masalah bagi konstruktivisme sosial.
Kedua, penutur bahasa asli yang bahasanya berbeda jauh dari Inggris, Perancis, dll, dalam logika dan fitur struktural baik harus memperoleh bahasa kedua, atau merestrukturisasi pemahaman mereka sendiri, dalam rangka untuk belajar matematika Barat akademik. Kemudian lagi tampaknya masuk akal, dan bahkan ada beberapa bukti untuk mendukung ini. Bahkan bukti seperti relativisme budaya memperkuat daripada melemahkan kasus favow konstruktivisme sosial.
Langganan:
Postingan (Atom)